Bhaskara: pra quê?

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Você já deve ter visto a imagem da capa deste artigo pela internet, ou outras parecidas: "Mais um dia se passou e eu não usei Bhaskara pra nada". Vou ser sincero com vocês, tirando para resolver alguns exercícios de algumas matérias, não me lembro de ter aplicado Bhaskara em nada "útil". Quando digo útil quero dizer algo com aplicação real, não exercícios fictícios para passar numa matéria. Uma curiosidade é que a Fórmula de Bhaskara só é conhecida com esse nome aqui no Brasil. No resto do mundo é simplesmente "fórmula para resolver equações quadráticas".

Mas então Bhaskara não serve pra nada?

Não é bem assim, ela possui aplicações práticas sim, como em economia com a função lucro. Com certeza, também, você sabe o que é uma antena parabólica. Parabólica vem de parábola e parábola é a curva formada por uma equação do 2º grau, que é resolvida por Bhaskara. Então para montar antenas parabólicas você precisa saber Bhaskara.

"Mas eu não vou montar uma antena parabólica nem fazer economia. Nunca vou usar isso". Pode ser que tenha razão, mas vou dar um exemplo aqui que quase qualquer pessoa pode usar.

Vendo bombons


Vendo bombons. Cada bombom custa 3 reais. Se comprar 2 ou mais bombons, dou um desconto de 25 centavos (0,25 reais) em cada bombom extra e eles vão dentro de uma caixinha. Qual deve ser a quantidade máxima de bombons na caixinha para que eu ganhe mais dinheiro?

1 bombom custa 3 reais. 2 bombons custam 3 reais mais 2,75 centavos (desconto do segundo bombom), ou seja, 5,75 reais. Equacionando:

1 bombom:

$bombom=3-0,25(1-1)=3-0=3$

2 bombons (cada bombom extra sai a):

$bombom=3-0,25(2-1)=3-0,25(1)=3-0,50=2,50$

x bombons (cada bombom extra sai a):

$bombom=3-0,25(x-1)=3-0,25x+0,25=3,25-0,25x$

Agora que eu tenho a equação do quanto vou ganhar por cada bombom, eu preciso multiplicar essa equação pelo número de bombons que eu vou vender

$ganho=x \cdot bombom=x \cdot (3,25-0,25x)=-0,25x^2+3,25x$

Essa é a equação de quanto eu vou ganhar se vender x bombons. Observe que é uma equação do segundo grau, portanto possui dois zeros (raízes). Um zero é se eu não vender nada, o outro precisamos achar. Como é uma equação do segundo grau, vamos resolver usando Bhaskara:

$-0,25x^2+3,25x=0$

$a=-0,25 \qquad b=3,25 \qquad c=0$

$\Delta = b^2-2ac=(3,25)^2-4(-0,25)(0)=(3,25)^2$ (vou deixar assim mesmo...)

$x=\large{\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3,25 \pm \sqrt{(3,25)^2}}{2(-0,25)}=\frac{-3,25 \pm 3,25}{-0,50}}$ (entendeu porque deixei ao quadrado?)

$x_1=\frac{-3,25 + 3,25}{-0,50} =0$

$x_1=\frac{-3,25 - 3,25}{-0,50} =13$

Caixa com 13 bombons é grátis!

Como assim!? Se eu vender 13 bombons eu não vou ganhar nada!? Se vender no esquema de desconto da propaganda sim! Os descontos vão se somando até que não se ganha nada! Existe um número máximo de bombons em cada caixa para que o ganho seja máximo. Você já parou para pensar por que um pack de latinhas vem com 6 latinhas? O de iogurte com 6 potinhos? O de leite com 12 caixas? É porque essa é a quantidade que dá maior ganho. Vamos descobrir quanto tem que ter em cada caixinha no nosso caso?

Existem duas fórmulas para descobrir as coordenadas $(x_v, y_v)$ do vértice (ponto mais alto ou mais baixo) de uma parábola. São elas:

$x_v=\frac{-b}{2a} \qquad y_v=\frac{-\Delta}{4a}$

$x_v$ é a quantidade de bombons e $y_v$ é o quanto vamos ganhar pela venda desses bombons.

$x_v=\frac{-3,25}{2(-0,25)}=6,5 \qquad y_v=\frac{-(3,25)^2}{4(-0,25)}=10,56$

ou seja, devemos vender 6 bombons e meio e vamos ganhar 10,56 reais. Mas vender meio bombom vai ficar estranho. Como uma parábola é simétrica, isto é, se dividirmos ela ao meio ela fica igualzinha de cada lado, podemos vender ou 6 ou 7 bombons na caixa, ganhando R$ 10,50 (deixo a conta com vocês). Abaixo o gráfico da função "dinheiro com bombons" e a tabela com os valores

bombons012345678910111213
valor03,005,507,509,0010,0010,5010,5010,009,007,505,503,000

Vou usar agora! #sqn

Notem que mesmo nesse caso eu poderia não ter usado Bhaskara, pois o principal objetivo desses cálculos é achar a quantidade máxima de bombons a ser vendido para o maior ganho ($x_v$), e não os zeros (raízes), onde não se ganha nada (Bhaskara).

Mesmo eu já tendo trabalhado com vendas não usei Bhaskara... Provavelmente a grande maioria da população vai continuar sem usar.Existem várias outras equações que se adequam mais à negócios. Aqui quis dar um exemplo de aplicação que qualquer "mortal" poderia fazer. Qualquer um pode vender bombons, balas, relógios... Esse modelo funciona com qualquer tipo de negócio com venda.

PS.: não estou neste post dizendo que a equação/função do segundo grau não é importante. Existem diversas aplicações para essa equação e seu gráfico, a parábola. Estou questionando a importância dada a Bhaskara no ensino médio e as aulas perdidas resolvendo essas equações mecanicamente. Na própria aplicação acima não seria necessário usar Bhaskara. "Ele" só é uma pequena parte da equação/função do segundo grau.

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