Subway, análise combinatória e seu guarda-roupas. O que têm em comum?

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A princípio o título deste post pode parecer estranho mas, como sempre digo, tudo é matemática (não, não tem nada a ver com As Crônicas de Nárnia...).

Quando você vai ao Subway comer um sanduíche, pode escolher entre:
  • 5 tipos de pães;

  • 16 tipos de recheio;

  • 3 queijos;

  • 3 adicionais

  • 8 vegetais;

  • 7 molhos e

  • 5 temperos.
Você pode conferir no site do Subway essas opções. Retirei as opções de tamanho e quente/frio por não alterarem o sabor do sanduíche (sei que alguns vão discordar).

Outra situação: você vai sair com um(a) cara (garota) e pensa que não tem roupa para sair. Abre o guarda-roupas e conta:

  • 14 camisas;

  • 5 calças;

  • 3 pares de tênis/sandálias;

  • 1 jaqueta.
Quantos sanduíches diferentes e quantas combinações de roupa você pode fazer?


Análise combinatória

"A análise combinatória oferece métodos que permitem contar o número de elementos de um conjunto formado sob certas condições. Associada à probabilidade e à estatística, ocnstitui um poderoso instrumento de antecipação de resultados. Os problemas de contagem permeiam nosso cotidiano. Estão presentes, por exemplo, quando pensamos nas possibilidades de combinação de roupas, de planejamento de cardápios ou de combinação de números em um jogo de loteria." (Trecho retirado e adaptado de Matemática: construção e significado vol. único)
Vamos tratar aqui somente de dois tópicos da análise combinatória: combinações e arranjos.

Combinação

Você foi convidado para uma festa e ficou de levar os salgadinhos. Os salgadinhos que vai levar são: coxinha (C), quibe (K) e bolinha de queijo (B). Você faz a encomenda desses quatro salgadinhos a uma cozinheira e ela diz que vai te entregar um de cada vez, mas que não sabe a ordem de entrega ainda. As possíveis ordens para entrega são:
  1. {C,K,B}

  2. {C,B,K}

  3. {B,C,K}

  4. {C,K,B}

  5. {K,B,C}

  6. {B,C,K}
Vemos que a ordem que a cozinheira entrega os salgadinhos não influencia em nada, já que você vai chegar na festa com todos eles.

Resumindo: combinação é uma organização onde a ordem em que os elementos são escolhidos não importa. No exemplo acima, apesar de termos 6 ordens diferentes, na prática só temos uma possibilidade.

Arranjo

Alex, Bruna e Carlos querem brincar de polícia, ladrão e delegado. Como o delegado é o chefe, todos querem ser delegado. Para evitar confusão, resolveram sortear as funções. O primeiro a ser sorteado será o delegado, o segundo a polícia e o terceiro o ladrão. As combinações (arranjos) possíveis, são:
  1. {A,B,C}

  2. {A,C,B}

  3. {C,A,B}

  4. {B,A,C}

  5. {B,C,A}

  6. {C,B,A}
Vemos que a ordem em que as crianças são sorteadas influencia na brincadeira.

Resumindo: arranjo é uma combinação que a ordem em que os elementos são escolhidos importa. No exemplo temos 6 possibilidades para escolher.

Fórmulas

$C_{n,p}$ é a combinação de n coisas em grupos de p coisas, cuja fórmula é

$C_{n,p}=$ $\frac{n!}{p!(n-p)!}&s=2$

$A_{n,p}$ é o arranjo de n coisas em grupos de p coisas, cuja fórmula é

$A_{n,p}=$ $\frac{n!}{(n-p)!}&s=2$

No caso dos salgadinhos temos:

$C_{3,3}$ é a combinação de 3 tipos de salgadinhos, de 3 em 3.

$C_{3,3}=$ $\frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3!0!} = \frac{3!}{3!} = &s=2$ $1$ (relembrando, 0!=1).

ou seja, só temos uma possibilidade de levar os salgadinhos. Para o caso da brincadeira

$A_{3,3}$ é o arranjo de 3 pessoas, 3 a 3.

$A_{3,3}=$ $\frac{3!}{(3-3)!} = \frac{3!}{0!} = &s=2$ $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

Temos 6 arranjos possíveis para a brincadeira.

Voltando ao Subway e ao seu guarda-roupas

Supondo que você queira comer todas as combinações possíveis de ingredientes, escolhendo só um de cada. Neste caso, basta você multiplicar todos os ingredientes

$5 \times 16 \times 4 \times 3 \times 8 \times 7 \times 5 = 268 800$ sanduíches diferentes.

Como você está determinado a experimentar todas as combinações, você vai comer 4 sanduíches por dia, no café da manhã, almoço, lanche da tarde e no jantar. $268 800 \div 4 = 67 200$, ou seja, você precisará de 67 200 dias para comer todas as combinações. Dividindo este número por 365, que é o número de dias que tem 1 ano, dá 184,11. Você precisará de 184 anos para comer todas as combinações!

Agora vamos para um caso um pouco mais realista. Eu não tenho restrições quanto ao pão, mas nunca pedi os de 9 grãos, que são 2. Logo tenho 3 pães para escolher.

Do recheio, retiro o frango defumado com cream cheese e o vegetariano, sobrando 14 recheios. Deixo os 3 queijos.

Dos 3 adicionais, fico só com o bacon. Dos vegetais, com o tomate, azeitona preta e picles. Dos molhos, retiro o mostarda e mel e fico só com a pimenta calabresa dos temperos. Resumindo:
  • 3 tipos de pães;

  • 14 tipos de recheio;

  • 3 queijos;

  • 1 adicional;

  • 3 vegetais;

  • 6 molhos e

  • 1 tempero.
Supondo que as regras só permitam 2 ingredientes de cada tipo, tenho

$3 \times 14 \times C_{3,2} \times 1 \times C_{3,2} \times C_{6,2} \times 1$

$C_{3,2} =$ $latex \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 1} = \frac{6}{2} = &s=2$ $latex 3$

$C_{6,2} =$ $latex \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} =&S=2$ $\underbrace{\frac{6 \times 5 \times 4!}{2 \times 1 \times 4!}}_{} = $ $\frac{30}{2} = &s=2$ $15$ (No termo com a chave em baixo, foi cortado o 4! de cima com o de baixo.)

Assim, o número de sanduíches possíveis é

$3 \times 14 \times 3 \times 1 \times 3 \times 15 \times 1 = 5670$ sanduíches.

Eu demoraria cerca de 4 anos para comer todas essas combinações.

Para o guarda-roupas, como em situações normais não usaríamos nem duas camisas, nem duas calças ou dois tênis/sandálias ao mesmo tempo, a quantidade de combinações é simplesmente a multiplicação dos itens

$14 \times 5 \times 3 \times 1 = 210$ combinações.

Baseado nessas informações, monte suas combinações de sanduíches. Quantos diferentes você comeria? E no seu guarda-roupas, quantos dias você consegue sair sem repetir uma combinação? Comenta aí!

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